LES POLYGONES

 

Mise en situation

Après avoir terminé de dessiner ta maison de rêve, tu commences à penser à la décoration. Afin que le tout soit original, tu imagines des cadres, des peintures, etc. qui possèdent des formes différentes. Celles-ci prennent l'allure de divers polygones.

 

Théorie
Polygone

Un polygone est une ligne brisée fermée qui est formée d'au moins trois segments de droite que l'on appelle côtés.

Une diagonale est un segment de droite qui joint deux sommets non consécutifs dans un polygone.
Polygone régulier

 

Tous les angles et tous les côtés du polygone sont congrus.
Polygone convexe

Toutes les diagonales sont à l'intérieur de la surface déterminée par le polygone ou tous les angles mesurent moins de 180° .
Polygone concave

Au moins une des diagonales est à l'extérieur de la surface déterminée par le polygone ou un des angles mesure plus de 180° .

Ce type de polygone possède au moins quatre côtés.

 

 

LA SOMME DES ANGLES INTÉRIEURS DES POLYGONES CONVEXES

 
La somme des angles intérieurs d'un:
- triangle 180°
- quadrilatère convexe 2 x 180° = 360°

i.e. la somme des angles des triangles formés en traçant l'une de ses diagonales

- polygone convexe (de plus de quatre côtés)
  • partage le polygone en triangles en traçant toutes les diagonales à partir d'un même sommet.
  • multiplie le nombre de triangles obtenus par 180° (la somme des angles intérieurs d'un triangle)

 

 

PÉRIMÈTRE DES POLYGONES

 

Périmètre des polygones

C'est le contour d'une surface quelconque, ou encore, c'est la ligne brisée formant le polygone.
De façon générale, on trouve le périmètre d'un polygone en additionnant les mesures de ses côtés.

 

 

 

Comment calculer le périmètre des polygones réguliers

 

triangle quelconque

p = côté a + côté b + côté c
Triangle équilatéral p = longueur d'un côté x 3
rectangle

p = a + a + b + b

ou

p = 2 x a + 2 x b

Carré p = longueur d'un côté x 4
parallélogramme

p = a + a + b + b

ou

p = 2 x a + 2 x b

losange

p = a + a + a + a

ou

p = 4 x a

Pentagone p = longueur d'un côté x 5
De façon générale, p = somme des mesures de chacun des côtés.
De façon générale (pour un polygone régulier),

 

 p = longueur d'un côté x nombre de côtés

 

 

Mesure d'un côté à partir du périmètre

 

Premier cas

 

La mesure d'un côté x d'un polygone est égale à la différence entre son périmètre et la somme des mesures de ses autres côtés.

x = p - (a + b + c + d +… + n)

Deuxième cas

 

Si les mesures des côtés d'un polygone sont égales et le périmètre est connu, alors on divise le périmètre par le nombre de côtés pour trouver la mesure d'un côté.

Mesure d'un côté = périmètre / nombre de côtés

 

 

L'AIRE DES POLYGONES

 

L'aire : Mesure de la grandeur d'une surface.
Les unités d'aire les plus courantes
  • centimètre carré (cm2)
  • mètre carré (m2)
  • kilomètre carré (km2)

 

 

Comment calculer l'aire des polygones

 

Le carré

base x hauteur

côté x côté

 A = b x h

A = c x c
Rectangle

base x hauteur A = b x h
Parallélogramme

base x hauteur A = b x h
Losange

base x hauteur

petite diagonale x grande diagonale/2

 A = b x h

A = (d x D)/2
Triangle

base x hauteur / 2 A = (b x h)/2
Trapèze

(petite base + grande base) x hauteur/2 A = ((b+B) x h)/2

 

 

ÉTAPES À SUIVRE POUR LA CONSTRUCTION DES POLYGONES RÉGULIERS À PARTIR DE LA MESURE D'UN DE SES LEURS CÔTÉS

 
1. Trouver la mesure d'un angle intérieur.
2. Tracer cet angle en déterminant la mesure connue de chacun de ses côtés.
3. Effectuer des rotations successives pour compléter le polygone régulier.

 

 

LES POLYGONES - EXERCICES

Questions 13 à 16 - Section Géométrie

 

QUESTION 13
À l'aide de la figure ci-contre, identifiez:
.
A) les polygones réguliers: ?
B) les polygones convexes: ?
C) les polygones concaves: ?

Question13.gif (2702 octets)

 

QUESTION 14
Calculez le périmètre et l'aire du parc (ABCDF) ci-contre, sachant que:
- la figure ABEF est un rectangle
- AF, BE et CD sont parallèles
- CD=ED=4 mètres
- BC=5 mètres
- FD=16 mètres
- AF=9 mètres
.
A) Aire: ?
B) Périmètre: ?

Question14.gif (2164 octets)

 

QUESTION 15
Sachant que la piscine est de forme rectangulaire, que sa longueur DC=25 mètres et que le périmètre de celle-ci est de 75 mètres:
.
A) Calculez la longueur AD de la piscine.
.
Les sauveteurs décident de séparer la piscine à l'aide d'un câble, du point D au point B. Deux triangles sont ainsi formés.
.
B) Calculez l'aire des triangles DBC et ABD. Est-ce que l'aire de ces triangles est le même? Pourquoi?

Question15.gif (2927 octets)

 

QUESTION 16
À l'aide de l'hexangone ci-contre, répondez aux questions suivantes:
.
A) Combien de diagonale(s) possède(nt) l'hexagone suivant?
B) Quelle est la mesure de chacun des angles de cet hexagone?

Question14.gif (1176 octets)

 

 

LES POLYGONES - SOLUTIONNAIRE

Questions 13 à 16 - Section Géométrie

 

QUESTION 13 - Réponse
A) C et F
B) A, B, C, F et H
C) D, E et G
QUESTION 14 - Réponse
A) 170 m²
B) 49 mètres
QUESTION 15 - Réponse
A) 12,5 mètres
B) Oui, l'aire des triangles ABD et DBC est le même car les deux triangles sont les moitiées du rectangle. Si nous divisons l'aire du rectangle: 312,5 m²/2=156,25 m², le résultat est la même que l'aire des triangles.
QUESTION 16 - Réponse
A) 3 diagonales
B) 120°