Développement des systèmes informatiques

Représentations tabulaires

Comment décrire une fonction ?

Qu’est-ce que nous comprenons par "décrire une fonction" ?
Rappelons la définition : un ensemble de couples ordonnés ...
Les mathématiciens n’ont pas beaucoup d’intérêt pour la façon dont les fonctions sont écrites.
Les ingénieurs doivent être concernés.
L’ensemble de couples ordonnés est habituellement trop grand pour pouvoir être énuméré.
Il n’y a pas souvent de simple expression pour décrire une fonction.
Il n’y a pas de "meilleure" façon pour décrire une fonction !
Le choix de notation dépend de la caractéristique de la fonction.
S’il y a plusieurs points de discontinuité alors des tables sont préférées.
- Faciles pour trouver ce que nous avons besoin
- Plus faciles pour vérifier
- On n’est pas obligé de comprendre tout pour comprendre une partie

Tables "normales" :

les entêtes de lignes et colonnes divisent le domaine
les entrées intérieures montrent les valeurs dans ce domaine

Sémantique

f(x, y) =	y ≠ 0	y = 0
x = 0	3	5
x ≠ 0	8	13

⇔

x = 0 ∧ y ≠ 0 ∧ f(x,y) = 3 ∨
x = 0 ∧ y = 0 ∧ f(x,y) = 5 ∨
x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ f(x,y) = 8 ∨
x ≠ 0 ∧ y = 0 ∧ f(x,y) = 13

⇔

(x = 0 ∧ y ≠ 0 ⇒ f(x,y) = 3) ∧
(x = 0 ∧ y = 0 ⇒ f(x,y) = 5) ∧
(x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ⇒ f(x,y) = 8) ∧
(x ≠ 0 ∧ y = 0 ⇒ f(x,y) = 13)

Exemple: f(x,y,z,w)

Si x est plus grand que 23 et y est plus petit que 0 et z est égal à 1 alors x+y+z sinon si z est égal à 2 alors x+y-z. Si z est égal à 3 et x est plus grand que 23 et y est plus petit que 0 alors x-y+z mais si w est plus grand que 0 alors y. Si x est plus grand que 23 et y est plus grand que 0 alors quand z est égal à 1 la valeur est x*y*z, mais quand z est égal à 2 la valeur serait x/y-z, cependant si z est égal à 3 nous avons deux cas différents (1) w est égal à 0 et la valeur est x-y+z, (2) si w est positif alors elle est y+w. Si z est égal à 3 et x est plus grand que 23 et y est égal à 0 ou bien x est égal à 23 ou bien x est plus petit que 23 et y est plus petit que 0 alors la valeur est y-w. Dans les autres cas, quand x est plus petit que 23 et y n'est pas plus petit que 0, la valeur est y+w. La valeur est x+y+z lorsque x est plus grand que 23 et y est plus grand que 0 et z est égal à 3 et w est égal à 0 ou bien x est plus petit que 23, z est égal à 3 et w est égal à 0. La valeur est x/y/z quand x est égal à 23 et z est égal à 1 ou bien z est égal à 2 et y est plus grand que 0. Quand x est égal à 23 et y est égal à 0 et z est égal à 2, ou bien quand z est égal à 2 et x est plus petit que 23 la valeur est x/y+z. Si x est égal à 23 et y est plus petit que 0 et z est égal à 2 alors la valeur est x/y-z. Si x est égal à 23 et y est plus petit que 0 et z est égal à 3 et w est égal à 0 alors la valeur est x-y-z. Si x est égal à 23 et y est plus grand que 0 et z est égal à 3 et y n'est pas plus petit que 0 la valeur est x/y-z. Si x est égal à 23 et y est égal à 0 et z est égal à 1, la valeur est x-y/z. Si x est égal à 23 et y est égal à 0 et z est égal à 2, la valeur est x-y-z. Si x est plus petit que 23 et z est égal à 1 alors la valeur est x+y/z.

Le texte est ambigu et contradictoire ! Difficile à comprendre et à vérifier si la fonction a été bien définie.

Exemple: f(x,y,z)

	z = 1	z = 2	z = 4	z = 5
x > 23 ∧ y < 0	x + y + z	x/y + z	x - y + z	x/y + z
x > 23 ∧ y > 0	x/y + z	x - y + z	x - y + z	x + y + z
x > 23 ∧ y = 0	x/y + z	x + y + z	x + y + z	x/y + z
x = 23 ∧ y < 0	x/y + z	x/y + z	x + y + z	x/y + z
x = 23 ∧ y > 0	x/y + z	x + y + z	x/y + z	x/y + z
x = 23 ∧ y = 0	x - y + z	x + y + z	x/y + z	x/y + z
x < 23 ∧ y < 0	x - y + z	x/y + z	x + y + z	x/y + z
x < 23 ∧ y > 0	x - y + z	x/y + z	x + y + z	x + y + z
x < 23 ∧ y = 0	x/y + z	x/y + z	x/y + z	x + y + z

Facile à vérifier si la fonction est bien définie.

Défaut : plusieurs expressions peuvent se répéter.

Tables "inside-out"

Pourquoi ne pouvons-nous pas toujours utiliser des tables normales ?

Le nombre de cas peut être très grand, pendant que le nombre de différentes expressions (valeurs) peut être petit.

Qu'est-ce qu'une table "inside-out"?

Les lignes divisent le domaine.
Les colonnes correspondent à des expressions (valeurs).
Les entrées sous-divisent le domaine davantage.

Sémantique

x = 0	y ≠ 0	y = 0	false	false
x ≠ 0	false	false	y ≠ 0	y = 0
f(x, y) =	3	5	8	13

⇔

x = 0 ∧ y ≠ 0 ∧ f(x,y) = 3 ∨
x = 0 ∧ y = 0 ∧ f(x,y) = 5 ∨
x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ f(x,y) = 8 ∨
x ≠ 0 ∧ y = 0 ∧ f(x,y) = 13

⇔

(x = 0 ∧ y ≠ 0 ⇒ f(x,y) = 3) ∧
(x = 0 ∧ y = 0 ⇒ f(x,y) = 5) ∧
(x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ⇒ f(x,y) = 8) ∧
(x ≠ 0 ∧ y = 0 ⇒ f(x,y) = 13)

Table "inside-out" équivalente à cette table

x > 23 ∧ y < 0	z = 1	z = 4	z = 2 ∨ z = 5
x > 23 ∧ y > 0	z = 5	z = 2 ∨ z = 4	z = 1
x > 23 ∧ y = 0	z = 2 ∨ z = 4	false	z = 1 ∨ z = 5
x = 23 ∧ y < 0	z = 4	false	z ≠ 4
x = 23 ∧ y > 0	z = 2	false	z ≠ 2
x = 23 ∧ y = 0	z = 2	z = 1	z = 4 ∨ z = 5
x < 23 ∧ y < 0	z = 4	z = 1	z = 2 ∨ z = 5
x < 23 ∧ y > 0	z = 4 ∨ z = 5	z = 1	z = 2
x < 23 ∧ y = 0	z = 5	false	z ≠ 5
f(x, y, z) =	x + y + z	x - y + z	x/y + z

Représentation des relations sous forme tabulaire

Relations peuvent être aussi décrites par des expressions booléennes
Exemples :
```
(x = y + 2) ∨ (x = y - 2)
x2 + y2 = 25
```

Les éléments des couples ordonnés dans une relation peuvent être des vecteurs.

Exemple:
Nous représentons l'élément gauche d'un couple par ('x, 'y, 'z).
Nous représentons l'élément droit d'un couple par (x', y', z').

(('x < 0) ∧ ('y < 0) ∧ (x' = 'x) ∧ (y' = 'x) ∧ (z' = 'z+1))
∨ (('x = 0) ∧ ('y < 0) ∧ (x' = 'y) ∧ (z' = 'x) ∧ (y' = 'y))
∨ (('x > 0) ∧ ('y < 0) ∧ (x' = 'x))
∨ (('y > 0) ∧ ('x = x') ∧ (y' = 'x) ∧ (z' = 'z+1))
∨ (('x = 0) ∧ ('y = 0) ∧ (x' = y' = z' = 'x))
∨ (('x < 0) ∧ ('y = 0))

La dernière relation peut être représentée sous forme d'une table définissant le prédicat caractéristique de la relation :

Table normale

	'y < 0	'y = 0	'y > 0
'x < 0	(x' = 'x) ∧ (y' = 'x) ∧ (z' = 'z+1)	true	('x = x') ∧ (y' = 'x) ∧ (z' = 'z+1)
'x = 0	(x' = 'y) ∧ (y' = 'y) ∧ (z' = 'x)	(x' = 'x) ∧ (y' = 'x) ∧ (z' = 'x)	('x = x') ∧ (y' = 'x) ∧ (z' = 'z+1)
'x > 0	x' = 'x	false	('x = x') ∧ (y' = 'x) ∧ (z' = 'z+1)

Table "inside-out"

'x < 0	'y ≠ 0	'y = 0	false	false	false	false
'x = 0	'y > 0	false	false	false	'y = 0	'y < 0
'x > 0	'y > 0	false	'y = 0	'y < 0	false	false
	(x' = 'x) ∧ (y' = 'x) ∧ (z' = 'z+1)	true	false	x' = 'x	(x' = 'x) ∧ (y' = 'x) ∧ (z' = 'x)	(x' = 'y) ∧ (y' = 'y) ∧ (z' = 'z)

Ooops ! Il y a une erreur dans cette table. Où se trouve-t-elle ?